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Von der Umformung mathematischer Operationen

Gleicher als gleich


Vor einiger Zeit haben wir uns an dieser Stelle unter anderem mit dem Satz von Pythagoras beschäftigt. Dabei handelt es sich um eine Formel, die den Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks beschreibt. Doch wie formt man solche mathematischen Funktionen korrekt um?

Damals waren wir mit diesem Zusammenhang völlig zufrieden, da er beim Erstellen von Computergrafiken von eminentester Bedeutung ist. Zum Rendern von Diagrammen ist es nicht interessant, wie der Autor die in Abbildung 1 gezeigte Umwandlung der „Normalform“ in die für den spezifischen Anwendungsfall notwendige Form vornahm.

hanna1.tif_fmt1.jpgAbb. 1: Der Satz des Pythagoras muss vor der Anwendung umgeformt werden

Was sind Gleichungen?

Im IT-Bereich gilt das einfache =-Zeichen als Operator. Der rechts vom Gleichheitszeichen stehende Wert muss in den links angegebenen Speicher wandern – der vorhergehende Inhalt des Speichers ist völlig irrelevant. Für den Rest dieses Artikels ist diese Interpretation unzutreffend. Stattdessen wollen wir das =-Zeichen als „Waageoperator“ betrachten, der auf die Gleichheit der linken und der rechten Seite hinweist. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 2 grafisch dargestellt.

hanna2.tif_fmt1.jpgAbb. 2: Der Wert des linken und des rechten Terms sind stets identisch

Für den Mathematiker hat das Gleichheitszeichen ansonsten keinerlei weitere Bedeutung. Es ist – aus mathematischer Sicht – völlig egal, wie sich der linke und der rechte Term (mathematischer Begriff für einen Ausdruck) verändern. Wichtig ist nur, dass die beiden Terme über den gesamten Wertebereich stets komplett identisch sind.

Gleiche Verformung …

An sich ist damit die Rolle von Umformungen komplett beschrieben. Es handelt sich dabei um Operationen, die – auf beide Seiten der Gleichung angewendet – die Identität der Terme nicht beeinträchtigen. Dass sich die Terme als Nebeneffekt in eine für den Anwender besser geeignete Form umwandeln, ist gewünscht.

Die einfachste Umformung ist das Addieren und/oder Subtrahieren eines Werts. Als Beispiel dafür betrachten wir die in Abbildung 3 gezeigte Umformung, die den Wert b² aus der „Normalform“ des Satzes von Pythagoras herausbricht.

hanna3.tif_fmt1.jpgAbb. 3: Der Wert b quadrat steht nun alleine auf einer Seite des =-Zeichens

Die hier erfolgte Vorgehensweise lässt sich ohne Probleme aus der Logik ableiten. Wer auf einer ausbalancierten Apothekerwaage auf beiden Seiten das gleiche Gewicht auflegt, ändert nichts am „Balancezustand“.

Wir subtrahieren in Abbildung 3 den Wert a² von beiden Seiten der G...

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