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Mathematische Probleme durch Simulation lösen

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Statistik genießt keinen besonders guten Ruf. Das unterstreicht unter anderem die Tatsache, dass sich das fälschlicherweise Winston Churchill zugeschriebene Bonmot „Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast“ im Laufe der Jahre in das Gehirn der Menschheit eingebrannt hat.

Es steht außer Frage, dass Zusammenfassungen – eine Statistik ist im Grunde genommen nichts anderes – immer einen Teil der ursprünglichen Datenmenge kaschieren. Dass man bei der Erfassung tricksen kann, lernt jeder Psychoanalytiker im Fach „Grundlagen des Verkaufs der Angst vor Internetsucht“. Dies gilt allerdings auch für andere Entitäten: Ein Brotmesser ergibt in den Händen einer Person mit üblen Intentionen eine wunderbare Waffe. Allem negativen Image zum Trotz: Bei korrekter Anwendung erlaubt die Statistik das Ermitteln einer Vielzahl von interessanten Kennwerten. Diese erleichtern die Analyse der durch Befragungen oder Beobachtungen erhaltenen Datenmengen.

Von der Urliste

Wer einen Test durchführt, bekommt eine mehr oder weniger lange Liste von Ergebnissen. Diese werden vom Mathematiker als Urliste bezeichnet. Für die folgenden Schritte wollen wir die Werte aus dem im Artikel „Willkommen in Monte Carlo“ [1] erstellten Tesco-Test als Urliste benutzen. Der Test beschäftigte sich mit der Frage, wie viele Sammelkartenpakete man beim Lebensmitteleinzelhändler Tesco kaufen müsste, um ein komplettes Album zu erhalten. Abbildung 1 zeigt, wie mit steigender Anzahl der Durchläufe die „Devianz“ geringer wird.

hanna_mathe_1.tif_fmt1.jpgAbb. 1: Der Kauf von Sammelkartensets wird durch diese Kurve beschrieben

Als erste – und mit Abstand einfachste – Kennzahl gilt der arithmetische Mittelwert. Ihre Berechnung erfolgt nach der in der Abbildung 2 gezeigten Formel.

Abb_2.eps_fmt1.jpgAbb. 2: Diese Formel liefert den arithmetischen Mittelwert zurück

An sich findet sich hier keine Raketenphysik. Alle Einzelwerte werden in einem gemeinsamen Speicher gesammelt, der dort enthaltene Wert wird sodann auf alle Elemente fair verteilt. Das Endresultat davon ist, dass alle Elemente den „gleichen Teil“ der Gesamtmenge erhalten haben.

Das Ende des Durchschnitts

Diese von Finanzmathematikern für den SMA-Indikator verwendete Kennzahl ist aufgrund ihrer vergleichsweise einfachen Berechnung weit verbreitet. Leider stößt sie oft an ihre Grenzen. Als Beispiel dafür wollen wir eine fiktive Luftwaffe annehmen, die aus den in Tabelle 1 gezeigten Flugzeugen zusammengestellt ist.

Flugzeug

Typ

Anzahl

Geschwindigkeit

An-2

Beobachter

20

258 km/h

MiG-2...

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