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Elliptische Kurven verstehen

Elliptisch wird’s sicherer


In der modernen Kryptografie stößt man immer wieder auf das Konstrukt der elliptischen Kurven. Was nach komplexer Mathematik klingt, lässt sich erstaunlich einfach und anschaulich erklären.

Häufig offenbart sich in der modernen Kryptografie, dass zum Ver- und Entschlüssseln, Hashen und Signieren von Daten zwar Mathematik benötigt wird, diese jedoch nicht besonders anspruchsvoll ist. Jedenfalls solange man sich mit der Anwendung begnügt und nicht den Ehrgeiz hat, die Algorithmen an sich zu verstehen und weiterentwickeln zu wollen. Tatsächlich braucht man nicht viel mehr als die vier Grundrechenarten, die Modulodivision, ein paar Grundlagen zu Primzahlen, Potenzrechnung und Logarithmen sowie eine ungefähre Vorstellung von Restklassen (die sich aber mit der Modulodivision wiederum sehr anschaulich erklären lassen). Mit diesem einfachen Handwerkszeug ist es möglich, symmetrische und asymmetrische Verschlüsselung, Hashes, digitale Signaturen, Zertifikate und Zufallszahlengeneratoren zu erklären. Die eigentliche Anwendung der Kryptografie besteht im späteren Verlauf in der Kombination dieser Basisbausteine.

Ein Thema, auf das man in der modernen Kryptografie immer häufiger stößt, hat die Serie jedoch ausgelassen: elliptische Kurven. Wer versucht, den zugehörigen Wikipedia-Artikel [1] zu lesen, bleibt schnell an mathematischen Fachbegriffen und zahlreichen Formeln hängen. Das Gefühl, das bleibt, ist, dass man Mathematik studiert haben muss, um elliptische Kurven zu verstehen. Was schade wäre, spielen diese doch eine zunehmend wichtige Rolle in der Kryptografie. Tatsächlich lassen sich auch elliptische Kurven einfach und anschaulich erklären, man muss das Problem dabei lediglich von der passenden Seite angehen. Genau das macht der vorliegende Artikel.

Was sind ellipitische Kurven?

Zunächst gilt es zu klären, was eine elliptische Kurve überhaupt ist. Im Prinzip handelt es sich um nichts anderes als eine mathematische Gleichung, ähnlich der aus der Schule bekannten Formeln. Beispielsweise lässt sich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem jede lineare Funktion mit Hilfe der Formel

f(x) = a * x + b

beschreiben. Für eine quadratische Funktion greift man auf ein sogenanntes Polynom zweiten Grades zurück, das in der allgemeinen Form wie folgt beschrieben wird:

f(x) = a * x2 + b * x + c

Die Faktoren a, b und c werden dabei jeweils als Koeffizienten bezeichnet und für eine konkrete Funktion fixiert. So kann man beispielsweise mit den Werten a = 1 und b = 0 die line...

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